Sujet 1

Lois de réciprocité.

On travaille
dans l’ensemble  des entiers
relatifs.

Si n
est un entier, on peut se demander si n est un carré. Autrement
dit, s’il existe un entier m tel que . Bon, ça, c’est pas passionnant pour nous.

On se donne un
nombre premier p. Et on se pose la question suivante : Est-ce que n
s’écrit comme un carré plus un multiple de p ?
En fait, a-t-on

avec m
et k entiers ? On peut aussi poser la question
équivalente : Existe-t-il m tel que  soit divisible
par p ?

Exemple :
En prenant p=3,

Peut-on écrire 1 comme somme d’un carré et
d’un multiple de 3 ?

Oui :
.

Et
avec 2 ?

Non,
on ne trouve pas de solution.

On cherche
donc une loi qui permet de dire si un nombre n est un
carré plus un multiple de p pour notre p fixé.
Autrement dit, n est-il un carré modulo p ?

On peut
fabriquer un symbole (sorte de machine) qui est définie de la
façon suivante :

On a donc
montré que  et on pense que .

QUESTIONS :

1.
Comprendre le symbole, en particulier,
calculer un certain nombre de valeurs.

2.
Calculer explicitement  et .

3.
Soient p et q deux
premiers, existe-t-il une relation entre  et  ?

4.
Quels sont les premiers qui
s’écrivent comme somme de deux carrés  ?

Sujet 2

Les carrés magiques.

Un
carré de taille n est un tableau à n lignes et n
colonnes. Il a donc cases et 2 vraies diagonales (en vert) joignant les coins.

On peut aussi
voir des diagonales brisées comme ci-dessous :

ou d’une
autre façon

Il y en a 2n-2.

Au total, on
dit qu’un carré a 4n rangées ( n
lignes, n colonnes, 2 vraies diagonales et 2n-2 diagonales
brisées).

Un
carré est dit eulérien si tous les entiers compris entre 0
et  apparaissent dans
une case du carré. (Comme notre exemple ci-dessus)

Un
carré est dit magique s’il est eulérien et si la
somme des éléments de chaque ligne, de chaque colonne et des deux
vraies diagonales est la même.

Un
carré est super-magique s’il est eulérien et si la
somme des éléments de chaque rangée est la même.

Exemple :
Voici un super magique de taille 5 :

0

24

18

12

6

13

7

1

20

19

21

15

14

8

2

9

3

22

16

10

17

11

5

4

23

QUESTIONS :

1.
Combien y a-t-il de carrés
eulériens de taille n ?

2.
Existe-t-il des carrés magiques,
super-magiques de taille 2, 3, 4 …

3.
Peut-on concevoir une manière de
les construire?

Sujet 3

Codes correcteurs d’erreurs.

A veut envoyer un message m
à B, mais il y a incertitude sur l’existence d’erreur
durant la transmission (bruits…).

Trouver un
code, c’est fabriquer un objet mathématique qui permet à B
de faire deux choses :

-
de détecter s’il y a une
erreur dans le message reçu par rapport à celui envoyé.

-
de corriger s’il n’y a pas
trop d’erreurs.

On
modélise un message sous la forme d’une chaîne de 0 et de 1.
On travaille donc dans un ensemble qu’on appelle  et que l’on
munit d’une loi additive simple :

0+0=0 ;
0+1=1 ; 1+0=1 ; 1+1=0.

Exemple :
Un premier code simple consiste à additionner les éléments
de la chaîne et d’envoyer cette somme comme un caractère de
plus. Pour envoyer m, on envoie m. Ainsi, si B fait la
somme de tous les caractères qu’il a reçu, il doit obtenir
0. Si ce n’est pas le cas, il peut affirmer qu’il y a une erreur.

Le
code du prestidigitateur : est celui dont l’étude est
proposée :

a)
A doit choisir un entier entre 0 et 15.

b)
B pose sept questions à A dont les
réponses sont oui ou non et A peut mentir au plus une fois :

1.
Le nombre est-il supérieur ou
égal à 8 ?

2.
Est-il parmi 4,5,6,7,12,13,14,15 ?

3.
Est-il parmi 2,3,6,7,10,11,14,15 ?

4.
Est-il impair ?

5.
Est-il parmi 1,2,4,7,9,10,12,15 ?

6.
Est-il parmi 1,2,5,6,8,11,12,15 ?

7.
Est-il parmi 1,3,4,6,8,10,13,15 ?

c)
B trouve le nombre (et la réponse
fausse si elle existe).

QUESTIONS :

1.
Comprendre comment B fait pour donner la
bonne réponse.

2.
Peut-on construire un code avec six
questions seulement ?

3.
Pratiquer le jeu.

4.
Codes parfaits…

Sujet 4

Le problème du calendrier.

On se donne 12
équipes qui doivent s’affronter par paire sur 6 tours.

On veut que
les équipes ne jouent jamais deux fois contre la même
équipe adverse.

QUESTIONS :

1.
Quels sont les calendriers
possibles ?

2.
En supposant qu’il y a 6 sports en
jeu (foot, rugby, tennis, squash, vélo et …. pelote basque) et
qu’aucune équipe ne jouera deux fois au même sport, quels
sont les calendriers possibles ?