Sujet 1

Sujet 1

Lois de réciprocité.

On tra= vaille dans l’ensemble _{des entiers
relatifs.}

Si = n est un entier, on peut se demander si n est un carré. Autreme= nt dit, s’il existe un entier m tel que _{. Bon, ça, c’est pas passionnant pour nous.<=
/p>}

On se = donne un nombre premier p. Et on se pose la question suivante : Est-ce q= ue n s’écrit comme un carré plus un multiple de p ? En fait, a-t-on

avec <= i>m et k entiers ? On peut aussi poser la question équivalente : Existe-t-il m tel que _{soit divisi=
ble
par p ?}

&= nbsp;

Exe= mple : En prenant p=3D3,

Peut-on écrire 1 comme somme d’un carré et d’un multiple de 3 ?

&= nbsp; Oui : _.

&= nbsp; Et avec 2 ?

&= nbsp; Non, on ne trouve pas de solution.

&= nbsp;

On che= rche donc une loi qui permet de dire si un nombre n est un carré plus un multiple de p pour notre p fixé. Autrement dit, n est-il un carré modulo p ?

&= nbsp;

On peut fabriquer un symbole (sorte de machine) qui est définie de la façon suivante :

On a d= onc montré que _{et on pense=
que _.}

&= nbsp;

QUESTIONS : <= /p>

1.&n= bsp; Comprendre le symbole, en particuli= er, calculer un certain nombre de valeurs.

2.&n= bsp; Calculer explicitement _{et _.}

3.&n= bsp; Soient p et q deux premiers, existe-t-il une relation entre _{et _?}

4.&n= bsp; Quels sont les premiers qui s’écrivent comme somme de deux carrés _?

&= nbsp;

Sujet 2

Les carrés magiques.

Un carré de taille n est un tableau à n lignes et = n colonnes. Il a donc _{cases et 2 vraies diagonales (en vert) joignant les coins=
.}

On peu= t aussi voir des diagonales brisées comme ci-dessous :

ou d̵= 7;une autre façon

Il y e= n a 2n-2.

Au tot= al, on dit qu’un carré a 4n rangées ( n lignes, n colonnes, 2 vraies diagonales et 2n-2 diagonales brisées).

Un carré est dit eulérien si tous les entiers compris ent= re 0 et _{apparaissen=
t dans
une case du carré. (Comme notre exemple ci-dessus)}

Un carré est dit magique s’il est eulérien et si la somme des éléments de chaque ligne, de chaque colonne et des = deux vraies diagonales est la même.

Un carré est super-magique s’il est eulérien et si = la somme des éléments de chaque rangée est la même.=

Exe= mple : Voici un super magique de taille 5 :

0	24	18	12	6
13	7	1	20	19
21	15	14	8	2
9	3	22	16	10
17	11	5	4	23

QUESTIONS : <= /p>

1.&n= bsp; Combien y a-t-il de carrés eulériens de taille n ?

2.&n= bsp; Existe-t-il des carrés magiq= ues, super-magiques de taille 2, 3, 4 …

3.&n= bsp; Peut-on concevoir une manièr= e de les construire?

&= nbsp;

Sujet 3

Codes correcteurs d’erreurs.

=	A veut envoyer un messa= ge m à B, mais il y a incertitude sur l’existence d’erreur durant la transmission (bruits…).

Trouve= r un code, c’est fabriquer un objet mathématique qui permet à= ; B de faire deux choses :

-&nb= sp; de détecter s’il y a u= ne erreur dans le message reçu par rapport à celui envoyé= .

-&nb= sp; de corriger s’il n’y a = pas trop d’erreurs.

&= nbsp;

On modélise un message sous la forme d’une chaîne de 0 et d= e 1. On travaille donc dans un ensemble qu’on appelle _{et que l=
217;on
munit d’une loi additive simple :}

0+0=3D0 ; 0+1=3D1 ; 1+0=3D1 ; 1+1=3D0.

Exe= mple : Un premier code simple consiste à additionner les élém= ents de la chaîne et d’envoyer cette somme comme un caractère= de plus. Pour envoyer m, on envoie m. Ainsi, si B fait la somme de tous les caractères qu’il a reçu, il doit obte= nir 0. Si ce n’est pas le cas, il peut affirmer qu’il y a une erreu= r.

<= /span>Le code du prestidigitateur : est celui dont l’étude est proposée :

a)&n= bsp; A doit choisir un entier entre 0 et= 15.

b)&n= bsp; B pose sept questions à A do= nt les réponses sont oui ou non et A peut mentir au plus une fois :

1.&n= bsp; Le nombre est-il supérieur ou égal à 8 ?

2.&n= bsp; Est-il parmi 4,5,6,7,12,13,14,15&nb= sp;?

3.&n= bsp; Est-il parmi 2,3,6,7,10,11,14,15&nb= sp;?

4.&n= bsp; Est-il impair ?

5.&n= bsp; Est-il parmi 1,2,4,7,9,10,12,15&nbs= p;?

6.&n= bsp; Est-il parmi 1,2,5,6,8,11,12,15&nbs= p;?

7.&n= bsp; Est-il parmi 1,3,4,6,8,10,13,15&nbs= p;?

c)&n= bsp; B trouve le nombre (et la ré= ponse fausse si elle existe).

QUESTIONS : <= /p>

1.&n= bsp; Comprendre comment B fait pour donn= er la bonne réponse.

2.&n= bsp; Peut-on construire un code avec six questions seulement ?

3.&n= bsp; Pratiquer le jeu.

4.&n= bsp; Codes parfaits…

&= nbsp;

Sujet 4

Le problème du calendrier.

On se = donne 12 équipes qui doivent s’affronter par paire sur 6 tours.

On veu= t que les équipes ne jouent jamais deux fois contre la même équipe adverse.

&= nbsp;

QUESTIONS : <= /p>

1.&n= bsp; Quels sont les calendriers possibles ?

2.&n= bsp; En supposant qu’il y a 6 spor= ts en jeu (foot, rugby, tennis, squash, vélo et …. pelote basque) et qu’aucune équipe ne jouera deux fois au même sport, quels sont les calendriers possibles ?

&= nbsp;